排列組合是組合學(xué)最基本的概念。所謂排列，就是指從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序。組合則是指從給定個(gè)數(shù)的元素中僅僅取出指定個(gè)數(shù)的元素，不考慮排序。排列組合的中心問(wèn)題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。

　　排列：排列的字母表示是A(m，n)，表達(dá)的意思是從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，進(jìn)行全排列(對(duì)m個(gè)元素進(jìn)行排序)。

　　組合：組合的字母表示是C(m，n)，表達(dá)的意思是從n個(gè)元素中取m個(gè)元素，不進(jìn)行排列(對(duì)m個(gè)元素不進(jìn)行排序)。

　　排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無(wú)關(guān)。如231與213是兩個(gè)排列，2+3+1的和與2+1+3的和是一個(gè)組合。下面，專(zhuān)家總結(jié)以下4大方法教您巧做排列組合題型。

　　一、特殊優(yōu)先法

　　特殊元素，優(yōu)先處理;特殊位置，優(yōu)先考慮。

　　例：六人站成一排，求

　　(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù);

　　(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)。

　　專(zhuān)家分析：

　　(1)先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類(lèi)。

　　第一類(lèi)：乙在排頭，有A(5，5)種站法;

　　第二類(lèi)：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有44A(4，4)種站法;

　　共A(5，5)+44A(4，4)種站法。

　　(2)第一類(lèi)：甲在排尾，乙在排頭，有A(4，4)種方法;

　　第二類(lèi)：甲在排尾，乙不在排頭，有3P(4，4)種方法;

　　第三類(lèi)：乙在排頭，甲不在排頭，有4P(4，4)種方法;

　　第四類(lèi)：甲不在排尾，乙不在排頭，有P(3，3) A(4，4)種方法;

　　共P(4，4)+3A(4，4)+4A(4，4)+A(3，3) A(4，4)=312種。

　　二、捆綁法與插空法

　　例1：某人射擊8槍?zhuān)�命�?槍?zhuān)�恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?

　　專(zhuān)家分析：連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問(wèn)題。另外沒(méi)有命中的之間沒(méi)有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即A(5，2)。

　　例2：馬路上有編號(hào)為l，2，3，……10 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法共有多少種?

　　專(zhuān)家分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒(méi)有區(qū)別，因而問(wèn)題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。

　　共C(3，6)=20種方法。

　　三、隔板法

　　例：10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問(wèn)有多少種不同的分配方法?

　　專(zhuān)家分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，把這10個(gè)元素任意分成8份，并且每份至少有一個(gè)類(lèi)似該種思維，實(shí)際上就是在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，就可以很形象的達(dá)到目標(biāo)。

　　四、間接計(jì)數(shù)法

　　例：三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形?

　　專(zhuān)家分析：有些問(wèn)題正面求解有一定困難，可以采用間接法。

　　比如說(shuō)該題直接去求三角形的個(gè)數(shù)分類(lèi)太多，比較復(fù)雜;換個(gè)方式思考，所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-三點(diǎn)共線(xiàn)的情況數(shù)。

 

 

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